Klar geht das, dann hast du aber trotzdem nur die Kraft, die notwendig ist, eine Masse von 1 kg auf 9,81 m/s² zu beschleunigen. Wie gesagt, wenn die Masse genau ein kg beträgt, dann "stimmt" deine Formel - eben wie eine kaputte Uhr, die auch regelmäßig die "richtige Uhrzeit" anzeigt.
Die muss in die Gleichung, weil es sonst nicht mehr um Gewichtsmessung gehen kann. Deine Quelle hat die doch auch drin - hab ich dir doch herausgesucht! "g" = 9,81 m/s², bzw. 9,81 N/kg.
Wenn du die Gleichung N = kg * g liest, dann geht es um Kraft, die vom Produkt aus Masse und Gravitation erzeugt wird. Dann bedeutet das automatisch: N = kg * 9,81 m/s², bzw. N = kg * 9,81 N/kg.
Eigentlich lautet die allgemeine Formel für die Kraft:
F (force) = m (mass) * a (acceleration) ;
also
Kraft = Masse * Beschleunigung.
Im speziellen Fall der Messung von Gewichtskräften, also mit welcher Kraft eine Masse auf den Boden wirkt, ist die Beschleunigung mit "g" und dem Wert 9,81 m/s² vorgegeben. Dieser Wert muss immer mit der Masse multipliziert werden, wenn man die Gewichtskraft einer Masse ermitteln will. Ohne 9,81 m/s² in der Gleichung, kannst du zwar alle möglichen Kräfte errechnen - nur nicht die Gewichtskräfte von Massen auf der Erde.