Das ist ja auch kein normaler Schulstoff mehr.
Die Länge der dritten Kante ändern sich durch zwei Parameter und nicht nur durch einen. Darum hat man zunächst eine Gleichung zu wenig. Man muss also eine Annahme über zwei der Kanten machen, nämlich dass sie gleich sind. Wir machen und klar, dass wenn eine Kante 60cm lang ist, für die zwei verbleibenden nur jeweils 15cm übrig sind. 60*15*15 = 13500 = 13,5 Liter
Wenn zwei Seiten jeweils 40cm und die verbleibende 10cm wäre 40*40*10 = 16000 = 16 L
die Grenze wäre hier 45*45*0 = 0 L.
Dazwischen ist das Volumen größer. zb. 20*20*50 = 20000 = 20 L
Das Volumen wird also in einer Kurve abgebildet: Steigt, wird flach und fällt wieder.
Um diese Kurve zu bekommen, muss man die Zielgleichung aufstellen, das ist das Volumen, das wir optimieren wollen.
Die Randbedingung, dass die Kantenlängen addiert 90 cm betragen, liefert uns eine verwertbare Bedingung und damit eine zweite Gleichung. Die max. Länge von 60cm liefert uns hingegen keine weitere Gl.
In der Nähe des Maximums ändert sich kaum etwas. Eine dort angelegte Gerade wäre flach. Beim nahe maximalen Volumen ist die Änderungsrate nahe 0.
Für die Änderungsrate von Funktionen haben Newton und Leibniz um 1690 eine Methode entwickelt. Das Problem, die Steigung einer Gerade zu berechnen von der ich nur einen Punkt habe, wurde bereits um 1340 als Problem erkannt. Die Änderungsrate an einer Kurve zu bestimmen ist wie eine Gerade die man an ene Kurve anschmiegt. Es gibt aber nur einen Berührpunkt. Steigungen an Graden sind Brüche der Form (das ist Stoff der 9. Kl., daran könntest Du Dich erinnern)
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
wenn man nur einen Punkt hat, wird dieser Bruch aber immer 0.
Fermat hatte um 1630 bereits eine Idee wie er das lösen wollte, aber er hat sie intuitiv aufgesellt und konnte nicht jeden Schritt beweisen. Das gelang erst Newton und Leibniz, die danach in einen heftigen Streit gerieten, wer nun der erste war. (Tatsächlich können es nur wenige Tage gewesen sein.)
Das "Tangentenproblem" war daher eines der längsten ungelösten Probleme der Mathegeschichte, ca. 360 Jahre.
Aus einer sehr komplexen Beweiskette ergibt sich als Konsequenz, dass die Funktionsgleichung der Form
y = a*x^n (kommt in unserer Lieblingsgleichung vor)
als Änderungsrate die sogenannte abgeleitete Funktionsgleichung
y
' = n*a*x^(n-1) hat.
Das habe ich auf unser mathematisches Problem angewendet.
Ich konnte nur die p-q-Formel nicht in diesem Programm darstellen, denn da sind zu viele mathematische Zeichen drin.
Die im Forum darstellbare Form sieht so aus: Binom sichtbar machen, (a - b)² = a² - 2ab + b² müssen wir umgedreht anwenden
a² - 120a + 2700 = 0
a² - 2*a*120/2 + 60² - 60² + 2700 = 0 (hier ist die 2.binomische Formel, die in der quadratischen Gleichung steckt, sichtbar gemacht)
Binom umformen, zusammenfassen, Form erzeugen aus dem man die Wurzel ziehen kann
(a - 60)² - 60² + 2700 = 0
(a - 60)² = 900 / dann Wurzel ziehen, an die negative Möglichkeit denken
a - 60 = +30 oder -30
60 addieren
a1 = 60 + 30 = 90 Dieses Ergebnis ist nicht reell
a2 = 60 - 30 = 30 Dieses Ergebnis entspicht den 30 cm
) , für diese Aufgabe aus dem praktischen Leben fällt mir im Moment keine Lösung ein: Also, ich beziehe mich auf die aktuelle Gebühren-Ordnung von DHL: wenn man ein Päckchen möglichst billig nach Hong Kong schicken möchte, dann darf die Summe der Seitenmaße ( B+H+L) maximal 90 cm betragen. So, jetzt verratet mir mal bitte: welches Karton-Maß muss man wählen, wenn man unter dieser Bedingung ein maximales Volumen verschicken will . 
